Teorija

7. Tjedan

• Neprekidnost funkcije, asimptote i elemnatrne funkcije

---

1. Neprekidnost funkcija

1.1. Definicija neprekidnosti

1.1.1. Geometrijsko značenje

• Geometrijski, funkcija $f(x)$ je neprekidna u točki $x=a$ ako na njenom grafu nema rupa ili skokova u $x=a$.
• Intuitivno: možemo “crtati” $y=f(x)$ bez dizanja olovke s papira oko $x=a$.

1.1.2. Precizna definicija neprekidnosti

• Funkcija $f$ je neprekidna u točki $a$ ako

$$\lim_{x \to a} f(x) \;=\; f(a).$$

• Ili formalno, za svaki $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ takav da: $$|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon.$$

Primjer: Funkcija $f(x)= x^2$ je neprekidna na cijeloj realnoj osi.
Primjer: Funkcija s “rupom” (poput $g(x)= \tfrac{x^2-1}{x-1} =x+1$ za $x\neq1$, ali $g(1)$ nedefinirano) ima prekid ako definicija nije prilagođena.

---

1.2. Vrste prekida funkcija

1.2.1. Uklonjivi prekid

• Uklonjivi prekid: Kad $\lim_{x \to a} f(x)$ postoji, ali $f(a)$ nije definirano ili $f(a)$ nije jednako toj granici.
• Možemo “popraviti” definirajući $f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$.

Primjer: $f(x)= \tfrac{\sin x}{x}$ za $x\neq0$, $f(0)= ?$. Bez definicije u 0, postoji “rupa”. Ako postavimo $f(0)=1$, postaje neprekidna.

1.2.2. Prekidi prve vrste (skokovi)

• Prekid prve vrste (skok):
  • Lijevi limes i desni limes postoje, ali su različiti.
  • Graf ima “skok” na $x=a$.

Primjer: $f(x)= \mathrm{sgn}(x)$ ima skok u 0.

1.2.3. Prekidi druge vrste

• Kad barem jedan od jednostranih limesa ne postoji (ili je beskonačan).
• Prekid je “jači” od skoka.

Primjer: $\tfrac1x$ ima prekid druge vrste u 0 jer $\lim_{x\to 0^+}\tfrac1x= +\infty$, $\lim_{x\to0^-}\tfrac1x= -\infty.$

---

1.3. Svojstva neprekidnih funkcija

1.3.1. Operacije s neprekidnim funkcijama

• Zbroj i razlika dviju neprekidnih funkcija je neprekidna.
• Umnožak dviju neprekidnih funkcija je neprekidan.
• Kvocijent neprekidnih funkcija je neprekidan (gdje nazivnik $\neq0$).

1.3.2. Teoremi vezani za neprekidnost

• Weierstrassov teorem o postojanju minimuma i maksimuma na zatvorenom intervalu za neprekidnu funkciju.
• Bolzano-Cauchy teorem: Ako $f(a)$ i $f(b)$ imaju suprotne predznake, neprekidna funkcija $f$ ima nultočku u $(a,b)$.

---

2. Asimptote funkcija

2.1. Definicija asimptote

• Asimptota je “prava” kojoj se graf funkcije približava na beskonačnosti ili u nekoj točki.

2.2. Vrste asimptota

2.2.1. Vertikalne asimptote

• Obično kod “nedefiniranosti” funkcije (pol, singularnost).
• Primjer: $f(x)= \tfrac{1}{x}$ ima vertikalnu asimptotu $x=0$.

2.2.2. Horizontalne asimptote

• Ako $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)= L$, onda $y=L$ je horizontalna asimptota.

2.2.1. Kose asimptote

• Ako $\lim_{x\to\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$, onda $y=ax+b$ je kosa asimptota.
• Često provjeravamo $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ za dobiti $a$, i potom $\lim_{x\to\infty}[f(x)-a\,x]$ za dobiti $b$.

---

2.3. Identifikacija asimptota iz analitičkih izraza

• Vertikalna: pogledati denominatore koji mogu ići 0 (npr. $x\to a$ s $\tfrac{1}{x-a}$).
• Horizontalna: pogledati $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)$.
• Kosa: ispitati $\frac{f(x)}{x}$ i slično.

---

3. Elementarne funkcije

3.1. Konstantne funkcije

• $f(x)= c$, graf je vodoravna crta.

3.2. Potencijalne funkcije (polinomi, korijeni)

• $f(x)= x^n, \sqrt{x},$ i polinomi $a_nx^n+\dots+a_0.$

3.3. Eksponencijalne funkcije

• $f(x)= a^x$ (osobito $e^x$).
• Neprekidne i glatke na $\mathbb{R}$.

3.4. Logaritamske funkcije

• $f(x)= \ln x$, domena $(0,\infty)$.
• Ima vertikalnu asimptotu u 0.

3.5. Trigonometrijske funkcije

• $\sin x, \cos x, \tan x, \dots$ periodične, neprekidne (osim polova npr. kod tangensa).

3.6. Hiperbolne funkcije

• $\sinh x, \cosh x, \tanh x,\dots$ dijele mnoga svojstva s trigonometrijskima, no drukčija asimptotska ponašanja.

---

4. Primjena limesa u analizi funkcija

4.1. Istraživanje ponašanja funkcija

• Limes pomaže utvrditi prekide, granice i asimpote.

4.2. Asimptotičko ponašanje i analitičko modeliranje

• Za $x\to\infty$, “dominantne” članove funkcije uspoređujemo i tražimo $\lim_{x\to\infty} [f(x)-g(x)]$.

4.3. Limesi u graničnim problemima

• Rješavanje graničnih i kontinuumskih problema: kad $x\to0$, $x\to \infty$, ili $\lim_{n\to\infty}$ kod diskretnih modela.

Vježbe

zadaci

Ispit

Koji su uvjeti za neprekidnost funkcije $f(x)$ u točki $a$?

1. $f(a)$ postoji, 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ ne postoji

1. $f(a)$ ne postoji, 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ postoji

1. $f(a)$ postoji, 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ postoji, 3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

1. $f(a)$ postoji, 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ postoji, 3. $\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

Što je diskontinuitet prve vrste?

Jedan ili oba jednostrana limesa su beskonačni

Limes postoji i jednak je vrijednosti funkcije

Postoje jednostrani limesi, ali nisu jednaki

Funkcija je neprekidna u toj točki

Što je diskontinuitet druge vrste?

Funkcija je neprekidna u točki

Limes postoji ali nije jednak vrijednosti funkcije

Jednostrani limesi su jednaki

Jedan ili oba jednostrana limesa ne postoje ili su beskonačni

Koja je horizontalna asimptota funkcije $f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}$?

$y = 2$

$y = 1$

$y = 3$

$y = 0$

Koja je vertikalna asimptota funkcije $f(x) = \frac{1}{x - 3}$?

$x = 0$

$x = 3$

$x = 1$

$x = -3$

Koja je kosa asimptota funkcije $f(x) = x + \frac{1}{x}$?

$y = 1$

$y = x - 1$

$y = x$

$y = 0$

Je li funkcija $f(x) = x^2 + 3x + 2$ neprekidna u $x = 1$?

Ne

Samo s desne strane

Samo s lijeve strane

Da

Je li funkcija $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ neprekidna u $x = 1$?

Da

Ne

Samo s lijeve strane

Samo s desne strane

Koja je horizontalna asimptota funkcije $f(x) = \frac{3x + 2}{x - 1}$?

$y = 1$

$y = 0$

$y = 3$

$y = 2$

Koja je vertikalna asimptota funkcije $f(x) = \frac{2x + 1}{x + 2}$?

$x = 1$

$x = 0$

$x = -1$

$x = -2$